METODE HINGGA UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL

Salah satu cara utk menyelesaikan persamaan differential adalah dengan menggunakan metode beda hingga atau yg lbh dikenal dgn finite difference method. Metode ini menggunakan pendekatan ekspansi Taylor di titik acuannya (x). Ada tiga jenis beda (difference) yg bisa kita gunakan utk mencari nilai f(x+∆x). Ketiga jenis beda ini disebut forward difference, backward difference, dan central difference. Supaya gak lupa, penurunannya saya berikan di sini.

Forward difference

Utk forward difference, kita ingin mencari nilai suatu fungsi jika independent variablenya digeser ke depan (makanya namanya forward difference) sebesar ∆x. Sederhananya, jika kita tahu f(x), maka berapakah f(x+∆x)? Ekspansi Taylor dituliskan sbb:

Secara umum, symbol ∂f/∂x*∆x menunjukkan kemiringan (gradient) nilai fungsi f pada f(x) jika x digeser sebesar ∆x. Sementara symbol ∂²f/∂x² menunjukkan lengkungan (curvature) dari titik f(x) tsb jika x digeser sebesar ∆x.

Oleh karena nilai setelah term pertama di atas tidak signifikan dibandingkan dgn term kedua, maka bisa kita bilang klo:

Hubungan di atas menunjukkan kemiringan (gradient) dari fungsi tsb sebesar ∆x ke depan (lbh besar dari x).

Backward difference

Pertanyaan yg sama jg kita berikan utk backward difference. Jika kita tahu f(x), maka berapakah f(x-∆x)? Atau berapakah nilai fungsi tsb jika independent variablenya digeser ke belakang sebesar ∆x. Ekspansi Taylor dituliskan sbb:

 

Hubungan terakhir ini menunjukkan kemiringan (gradient) dari fungsi tsb sebesar ∆x ke belakang (lbh kecil dari x).

Central difference

Jenis bedar ketiga adalah beda tengah, di mana kita akan mencari kemiringan dari fungsi tsb dgn menggunakan perbedaan nilai fungsinya dari beda depan dan beda belakang. Secara matematis, beda tengah adalah penjumlahan dari beda depan dan beda belakang.

Second order derivation

Setelah pendekatan orde satu bisa kita turunkan spt di atas, skrg kita bisa menurunkan persamaan utk pendekatan orde dua. Penurunan di bawah ini saya mulai dari mengambil persamaan orde satu dari beda depan (forward difference) yg mengandung penurunan orde dua (second order differential). Fungsi ∂²f/∂x² saya keluarkan, dan persamaan utk ∂f/∂x nya saya ambil dari pendekatan beda belakang (backward difference).

Dengan adanya dua pendekatan (orde satu dan orde dua) ini, kita bisa bekerja dgn contoh berikut:

Penyelesaian analitiknya adalah sbb:

Kondisi batas yg kita ketahui adalah sbb:

u pada r = 2 atau u(2) = 0.008

u(6.5) = 0.003

Yg ditanyakan adalah berapa nilai u di antara kedua nilai batas di atas.

Dengan metode beda hingga ini, kita akan membuat node2. Katakanlah kita buat 4 node. Node yg pertama adalah saat u(2), dan node yg keempat adalah u(6.5). 4 node yg kita pilih terdiri atas 3 rentang, yakni rentang node 1-2, rentang node 2-3, dan rentang node 3-4. Jarak rentang tsb adalah (6.5-2)/3 = 1.5. Maka, node 2 adalah 2+1.5 = 3.5. Node 3 adalah 3.5+1.5 =5. Yg skrg ingin kita ketahui tentunya adalah nilai u pada saat r = 3.5 atau u(3.5) dan u(5).

Utk yg pertama ini, kita akan gunakan pendekatan beda maju utk orde satu. Dengan memasukkan pendekatan yg udah kita turunkan ke persamaan diferensial di atas, kita dapat:

, dgn i = node.

Persamaan ini kita utak-atik utk mendapatkan penyelesaian utk u_i, sehingga kita bisa menyusun persamaan utk u₂ dan u₃. Sementara u₁ dan u₄ sudah kita ketahui sebagai kondisi batas. Klo saya selesaikan di excel, akan didapat sbb:

Perbandingan hasil pendekatan ini dengan hasil analitiknya menghasilkan error sebesar 6.66% utk u₂ atau u(3.5) dan error sebesar 5.12% utk u₃ atau u(5).

Jika saya gunakan beda tengah utk pendekatan orde satu, akan diperoleh hasil sbb:

 

Hasil perhitungan dgn pendekatan beda tengah ternyata lbh akurat drpd pendekatan beda maju (dan jg drpd beda mundur). Error utk u(3.5) menjadi 2.43% dan error utk u(5) menjadi 1.68%.

Jika saya menggunakan node yg lbh banyak, dalam artian saya melakukan perhitungan yg lbh detail, dengan 8 node misalnya. Dan tetap menggunakan beda tengah, akan didapat hasil sbb:

Spt yg diharapkan klo hasil perhitungan dgn node yg semakin banyak atau perhitungan semakin detail, maka hasilnya akan mendekati hasil analitiknya. Error yg diperoleh utk setiap r di atas semuanya di bawah 0.5%.

contoh soal uji chi kuadrat

Contoh kasus (1):

Menurut teori genetika (Hukum Mendel I)  persilangan antara kacang kapri berbunga merah dengan yang berbunga putih akan menghasilkan tanaman dengan proporsi sebagai berikut: 25% berbunga merah, 50% berbunga merah jambu, dan 25% berbunga putih.  Kemudian, dari suatu penelitian dengan kondisi yang sama,  seorang peneliti memperoleh hasil sebagai berikut, 30 batang berbunga merah, 78 batang berbunga merah jambu, dan 40 batang berbunga putih.  Pertanyaannya adalah apakah hasil penelitian si peneliti tersebut sesuai dengan Hukum Mendel atau tidak?

Untuk menjawab pertanyaan tersebut, kita bisa menggunakan uji chi-square, sebagai berikut:

1.     Buatlah hipotesis
H0: rasio penelitian adalah 1:2:1 atau 25%:50%:25%
HA: rasio penelitian  adalah rasio lainnya

2.     Lakukan analisis

Kategori	Merah	Merah Jambu	Putih	Jumlah
Pengamatan (O)	30	78	40	148
Diharapkan (E)	37	74	37	148

Proporsi diharapkan (E) dicari berdasarkan rasio 1:2:1, sebagai berikut:
Merah             = 1/4 x 148 = 37
Merah Jambu  = 2/4 x 148 = 74

Putih               = 1/4 x 148 = 37

Df = (kolom -1)(baris -1) = (3-1)(2-1) = 2

Kriteria Pengambilan Kesimpulan
Terima H0 jika  x^2 hitung< x^2 tabel
Tolak H0 jik  x^2 hitung≥ x^2 tabel

Kesimpulan
Dari hasil analisis data, diperoleh x^2 hitung< x^2 tabel, maka H0 diterima.
Artinya, rasio hasil penelitian si peneliti tersebut sesuai dengan  rasio menurut Hukum Mendel (lihat bunyi hipotesis pada H0).

contoh soal uji beda rata rata

CONTOH SOAL

Seorang pemilik toko yang menjual 2 macam bola lampu, mek A dan merk , berpendapat tidak ada perbedaan rata-rata lamanya menyala kedua merk bola lmpu tersebut. Dengan pendapat alternatif ada perbedaan (tidak sama), guna menguji pendapat itu dilakukan eksperimen dengan menyalakan 100 bola lampu merk A dan 50 bola lampu merk B sebagai sample acak. Ternyata bola lampu merk A dapat meyala rata-rata selama 952 jam, sedangkan bola lampu merk B 987 jam, masing-masing dengan simpangan baku sebesar A = 85 jam, B = 92 jam. Dengan menggunakan α = 5%, ujilah pendapat tersebut!

Diketahui

nA = 100                              nB = 50

A = 952                            B = 987

sA =  85                                  sB = 92

Langkah 1

H0 : µA = µB

H1 :  µA  ≠ µB

Langkah 2

α = 5%

titik kritis = 0,5 - 0,025 = 0,475

Zα/2 = ± 1,96

Langkah 3

Uji Statistik

Langkah 4

Langkah 5

Karena Z0 = -2,25 < -Zα/2 = – 1,96 maka H0 ditolak. Berarti pernyataan pemilik toko mengenai rata-rata lamanya menyala bola lampu dari kedua merek tersebut dalah salah. Rata-rata menyala bola lampu kedua merk tersebut tidak sama.